свойства бинарных отношений на множестве с примерами

Мы предполагаем, что вам понравилась эта презентация. Чтобы скачать ее, порекомендуйте, пожалуйста, эту презентацию своим друзьям в любой соц. сети.
Итак, чтобы скачать:
Шаг 1. Посмотрите, ниже находятся кнопочки всех популярных соцсетей. Наверняка Вы гдето зарегистрированы. Воспользуйтесь одной из кнопок, чтобы порекомендовать своим друзьям презентацию.
Шаг 2. После того, как Вы оставили рекомендацию в любой из соцсетей, кнопка "Скачать" активируется. Нажмите на нее, чтобы скачать файл.
Спасибо за посильную помощь нашему порталу!
Слайд 1
Лекция 5. Отношения на множестве © Гусева И.Н., кафедра СМиРЯ, КГУ, 2010 Слайд 2
ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ В математике изучают не только связи между элементами двух множеств, т. е. соответствия, но и связи между элементами одного множества. Называют их отношениями. Отношения многообразны. Между понятиями это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями отношения следования и равносильности; между числами «больше», «меньше», «равно», «больше на...», «меньше на...», «следует» и др. Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинпарными; отношения между тремя элементами тернпарными; отношения между п элементами n-парными. Все названные выше отношения являются бинпарными. Примером тернарного отношения может служить отношение между точками прямой «точка х лежит между точками у и z». Слайд 3
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю надо знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика. Слайд 4
Понятие отношения на множестве Чтобы определить общее понятие бинарного отношёния на множестве, поступим так же, как и в случае с соответствиями, т.е. рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = {2, 4,6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все пары есть элементы декартова произведения Х×Х, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества Х×Х. Вообще бинарные отношения на множестве Х определяют следующим способом: Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х х Х. Слайд 5

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные Отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать. (условимся отношения обозначать буквами R, S, Т, Р и др. Если R- отношения на множестве Х, то, согласно определению, Rє Х×Х. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества Х×Х, то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записывать так: (х, у) єR или x-ray. Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у». Отношения задают так же, как соответствия. Отношение можно задать, перечислив пары элементов множества Х, находящиеся в этом отношении. Формы представления таких пар могут быть различными они аналогичны формам задания соответствий. Отличия касаются задания отношений при помощи графа. Слайд 6
Построим, например, граф отношений «меньше», заданного на множестве Х = {2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множества Х изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» стрелкой. На том же множестве Х можно рассмотреть другое отношение «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе. Слайд 7
Отношение можно задать при помощи предложения с двумя переменными. Так, например заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записывать, используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в таком виде: «х у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или ху = 3). Слайд 8
Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2». Слайд 9
Свойства отношений Мы установили, что бинарное отношение на множестве Х представляет собой множество упорядоченных пар элементов, принадлежащих декартову произведению ХхХ. Это математическая сущность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отношения обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые. Слайд 10

Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисунке, отношения перпендикулярности, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений и будем их сравнивать.. Слайд 11
Видим что граф отношения равенства отличается от двух других наличием петель в каждой его вершине. Эти петли результат того, что отношение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе. Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлексивности или просто, что оно рефлексивно Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой. Слайд 12
Если отношение R рефлексивно на множестве Х, то в каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности. Примеры рефлексивных отношений: Отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе); отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе). Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отношения перпендикулярности (рис. 99) нет ни одной петли. Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков. Слайд 13
Обратим теперь внимание на графы отношений перпендикулярности и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обладают отношения параллельности и равенства отрезков: - если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому; - если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому. Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков говорят. что они обладают свойством симметричности или просто симметричны. Слайд 14
Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х. Слайд 15
Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения. В дополнение к рассмотренным двум примерам симметричных отношений присоединим ещё такие: - отношение параллельности на множестве прямых (если прямая х параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х); - отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F). Слайд 16
Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на множестве отрезков. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством анти симметричности или просто антисимметрично. Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным,, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится. Слайд 17
Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения. Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством анти симметричности, например, обладают: - отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х); - отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х). Слайд 18
Существуют отношения, не обладающие ни свойством симметричности, ни свойством анти симметричности. Рассмотрим, например, отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя. Тогда граф Т отношения «быть сестрой» будет таким, как на рисунке. Он показывает, что данное отношение не обладает ни свойством симметричности, ни свойством анти симметричности. Обратим внимание еще раз на одну о

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности. Примерами отношений эквивалентности могут служить

Подробнее

Обратите внимание, для однозначности классификации свойство рефлексивности можно определять только для непустых множеств! В соответствии с этим, бинарное отношение на пустом множестве будет, является нерефлексивным.

Указанные свойства бинарных отношений на множестве называют рефлексивностью и иррефлексивностью. Бинарные отношения равенства и подобия на множестве геометрических фигур рефлексивны

3. Свойство бинарного отношения. 4. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности.  1, 4, 9 – свойства бинарных отношений во множестве. 2, 12 – операции над бинарными отношениями. 3 августа 2012

Читать

Свойства отношений Мы установили, что бинарное отношение на множестве Х представляет собой множество упорядоченных пар элементов, принадлежащих декартову произведению ХхХ.

Если то говорят, что R есть бинарное отношение на множестве А. Ясно, что каждое бинарное отношение R является  ТЕОРЕМА 2.2. Композиция отношений обладает свойством ассоциативности, т. е. для любых бинарных отношений.