вычислите первые 4 последовательности

Выражения, преобразование выражений Нахождение значения выражения, примеры, решения.
После того, как мы узнали что такое значение выражения, логичным будет разобраться с вопросом как найти значение выражения. Сейчас мы рассмотрим правила нахождения значений выражений. Начнем с числовых выражений, и будем продвигаться от самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа и соединяющие их знаки арифметических действий, и закончим общим случаем, когда в выражении, значение которого нужно найти, содержатся скобки, дроби, корни, степени и другие функции. В конце покажем, как находить значения буквенных выражений и выражений с переменными при выбранных значениях переменных. Всю теорию снабдим примерами с подробным описанием решений.
Как найти значение числового выражения?
Перевод условий задач на математический язык часто дает числовые выражения, то есть, выражения, составленные из чисел и знаков действий. Они могут быть как очень простыми, состоящими из чисел и знаков арифметических действий, так и достаточно сложными и громоздкими, содержащими скобки, степени, дроби, корни и т.п. Но составленное выражение зачастую является лишь промежуточным этапом решения задачи, а ответ заключается в значении составленного выражения. Так мы приходим к задаче - найти значение выражения.
Разберемся с правилами, по которым вычисляются значения выражений.
Простейшие случаи
Знакомство с правилами нахождения значений выражений начнем со случаев, когда числовое выражение не содержит в своей записи ничего другого, кроме чисел и знаков арифметических действий. Эти случаи мы и назвали простейшими.
Чтобы успешно находить значения таких выражений, нужно уметь выполнять действия с различными числами, а также иметь представление о порядке выполнения действий в выражениях без скобок.
Итак, если числовое выражение составлено из чисел и знаков +, −, · и :, то по порядку слева направо нужно сначала выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание, что позволит найти искомое значение выражения.
Приведем решение примеров для пояснения.
В данном примере нам сначала нужно выполнить умножение 2·(−7) и деление с умножением в выражении . Вспомнив, как выполняется умножение чисел с разными знаками, находим 2·(−7)=−14. А для выполнения действий в выражении сначала заменяем смешанное число обыкновенной дробью , после чего переходим от деления на дробь к умножению на обратное число , и выполняем умножение обыкновенных дробей: .
Подставляем полученные значения в исходное выражение: .
Осталось записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби , вспомнить правило вычитания отрицательных чисел , сгруппировать и сложить обыкновенные дроби , и сложить обыкновенную дробь с натуральным числом .

Так мы нашли искомое значение выражения.
К началу страницы Со скобками
Теперь разберемся, как найти значение выражения, содержащего в своей записи скобки, указывающие порядок выполнения действий. При этом сначала следует находить значение выражений в скобках, придерживаясь принятого порядка выполнения действий, а затем выполнять остальные действия, что приведет к искомому значению исходного выражения. Это правило перекликается с порядке выполнения действий в выражениях без скобокпорядком выполнения действий в выражениях со скобками.
Покажем решение примера.
Во внутренних скобках находится выражение 1−1/4, его значение равно 3/4. Подставив его в исходное выражение, оно примет вид 1+2·(1+2·(1+2·3/4)). Опять вычисляем значение выражения во внутренних скобках, не забывая, что умножение выполняется перед сложением, 1+2·3/4=1+3/2=5/2, и подставляем это значение в последнее выражение: 1+2·(1+2·5/2). Остается найти значение выражения в скобках, после чего можно будет закончить вычисления: 1+2·(1+2·5/2)=1+2·6=13.
Запишем краткое решение:
1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4)))= 1+2·(1+2·(1+2·3/4))= 1+2·(1+2·(1+2·3/4))= =1+2·(1+2·5/2)= 1+2·6=13.
К началу страницы С корнями
Числовые выражения, значения которых требуется найти, могут в своей записи содержать различные знаки, в частности, корни. Как найти значение корня, под которым стоит число, объясняет материал статьи извлечение корней.
А как быть, когда под знаком корня находится числовое выражение? Чтобы получить значение такого корня, нужно сначала найти значение подкоренного выражения, придерживаясь принятого порядка выполнений действий. Например, .
В числовых выражениях корни следует воспринимать как некоторые числа, и корни целесообразно сразу заменить их значениями, после чего находить значение полученного выражения без корней, выполняя действия в принятой последовательности.
К началу страницы Со степенями
Когда в выражении, значение которого мы находим, присутствуют степени, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий. Вычислению значений степеней чисел посвящена статья возведение в степень.
Если основание и показатель степени являются числами, то их значение вычисляется по определению степени, например, 3
2=3·3=9 или 8
−1=1/8. Встречаются также записи, когда основание и/или показатель степени являются некоторыми выражениями. В этих случаях нужно найти значение выражения в основании, значение выражения в показателе, после чего вычислить значение самой степени.

В исходном выражении две степени 2
3·4−10 и (1−1/2)
3,5−2·1/4. Их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий.
Начнем со степени 2
3·4−10. В ее показателе находится числовое выражение, вычислим его значение: 3·4−10=12−10=2. Теперь можно найти значение самой степени: 2
3·4−10=2
2=4.
В основании и показателе степени (1−1/2)
3,5−2·1/4 находятся выражения, вычисляем их значения, чтобы потом найти значение степени. Имеем (1−1/2)
3,5−2·1/4=(1/2)
3=1/8.
Теперь возвращаемся к исходному выражению, заменяем в нем степени их значениями, и находим нужное нам значение выражения: 2
3·4−10+16·(1−1/2)
3,5−2·1/4= 4+16·1/8=4+2=6.
К началу страницы Находим значение выражения с дробями
Числовые выражения в своей записи могут содержать дроби. Когда требуется найти значение подобного выражения, дроби, отличные от обыкновенных дробей, следует заменить их значениями перед выполнением остальных действий.
В числителе и знаменателе дробей (которые отличны от обыкновенных дробей) могут находиться как некоторые числа, так и выражения. Чтобы вычислить значение такой дроби нужно вычислить значение выражения в числителе, вычислить значение выражения в знаменателе, после чего вычислить значение самой дроби. Такой порядок объясняется тем, что дробь a/b, где a и b – некоторые выражения, по сути представляет собой частное вида (a):(b), так как черта дроби означает знак деления.
Рассмотрим решение примера.
В исходном числовом выражении три дроби и . Чтобы найти значение исходного выражения, нам сначала нужно эти дроби, заменить их значениями. Сделаем это.
В числителе и знаменателе дроби находятся числа. Чтобы найти значение такой дроби, заменяем дробную черту знаком деления, и выполняем это действие: .
В числителе дроби находится выражение 7−2·3, его значение найти легко: 7−2·3=7−6=1. Таким образом, . Можно переходить к нахождению значения третьей дроби.
Третья дробь в числителе и знаменателе содержит числовые выражения, поэтому, сначала нужно вычислить их значения, а это позволит найти значение самой дроби. Имеем .
Осталось подставить найденные значения в исходное выражение, и выполнить оставшиеся действия: .
К началу страницы С логарифмами
Если числовое выражение содержит логарифмы, и если есть возможность избавиться от них, вычислив значение логарифмов, то это делается перед выполнением остальных действий. Например, при нахождении значения выражения log 24+2·3, логарифм log 24 заменяется его значением 2, после чего выполняются остальные действия в обычном порядке, то есть, log 24+2·3=2+2·3=2+6=8.
Когда под знаком логарифма и/или в его основании находятся числовые выражения, то сначала находятся их значения, после чего вычисляется значение логарифма. Для примера рассмотрим выражение с логарифмом вида . В основании логарифма и под его знаком находятся числовые выражения, находим их значения: . Теперь находим логарифм, после чего завершаем вычисления: .
Если же логарифмы не вычисляются точно, то найти значение исходного выражения может помочь предварительное его упрощение с использованием свойств логарифмов. При этом нужно хорошо владеть материалом статьи преобразование логарифмических выражений.
Начнем с вычисления log 2(log 2256). Так как 256=2
8, то log 2256=8, следовательно, log 2(log 2256)=log 28=log 22
3=3.
Логарифмы log 62 и log 63 можно сгруппировать. Сумма логарифмов log 62+log 63 равна логарифму произведения log 6(2·3), таким образом, log 62+log 63=log 6(2·3)=log 66=1.
Теперь разберемся с дробью . Для начала основание логарифма в знаменателе перепишем в виде обыкновенной дроби как 1/5, после чего воспользуемся свойствами логарифмов, что позволит нам получить значение дроби: .
Осталось лишь подставить полученные результаты в исходное выражение и закончить нахождение его значения:
Вид данного выражения довольно сложен. В этом выражении мы видим дробь, корни, степени, синус и логарифм. Как же найти его значение?
Продвигаясь по записи слева на право, мы натыкаемся на дробь вида . Мы знаем, что при работе с дробями сложного вида, нам нужно отдельно вычислить значение числителя, отдельно – знаменателя, и, наконец, найти значение дроби.
В числителе мы имеем корень вида . Чтобы определить его значение, сначала надо вычислить значение подкоренного выражения . Здесь есть синус. Найти его значение мы сможем лишь после вычисления значения выражения . Это мы можем сделать: . Тогда , откуда и .
Со знаменателем все просто: .
Таким образом, .
После подстановки этого результата в исходное выражение, оно примет вид . В полученном выражении содержится степень . Чтобы найти ее значение, сначала придется найти значение показателя, имеем .
Итак, .
К началу страницы Рациональные способы вычисления значений выражений
Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. Да, необходимо придерживаться последовательности выполнения действий, записанной в пре

Иногда нужно просто вычислить корень. На нашем сайте представлен онлайн калькулятор вычисления корней.

Подробнее

Разложив по первой строке, вычислить определитель. Решение. Ответ. Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более

Вычислим данный определитель двумя способами: по правилу треугольников и через алгебраические дополнения. А сейчас разложим по элементам первого рядка

банк задач I уровня для К.Р. №2 ДИНАМИКА 10 класс. Вычислите первую космическую скорость для Венеры, если масса Венеры равна 4,9·1024 кг

Читать

. 7. Подставить полученные значения в формулу и вычислить коэффициент корреляции до тысячного знака

Вычислить наиболее рациональным способом (1.046-1.050) [5]. Тождественные преобразования алгебраических выражений (2.001-2.157) [148].